Вицове, бисери и случки (на математическа тема)

Kак три вектора обърнали в нула един детерминант



(руска народна приказка)
В някакво пространство, в някакво
подпространство имало едно време
дадено нормализирано, удобно
подредено семейство юнашки вектори : T1, T2
и ТЗ. Нямали те собствени числа, нито
собствени стойности, а живели
както майка им ги родила. От период до
период, от -n до n работили и
превивали гръб братята на базиса на
богатия Симплекс – експлоататор и
капиталист, който живял целия си живот
по принципа на най-малкото
действие.
Но лош късмет – намразил ги Комплекс –
синът на Симплекс – и започнал да
се подиграва над тях с коплексните си
щуротии: ту една координата
нулира, ту друга. "Няма да имаме мира от
този Комплекс" – решили братята
– "Няма за него никакви ограничения." И
намислили те да обиколят всички
пространства и подпространства,
всички слоеве и многообразия и да
намерят дясна координатна система.
Излезли в чисто потенциално поле и
тръгнали с крачка е/2, накъдето им видят
очите. n вървели, 2n вървели, Зn
вървели... Започнали вече да се срещат
магнитни аномалии. Погледнали
братята – точно пред тях блести
струйно течение със син разрез на гладка
комплексна равнина. Не просто течение,
а завихрено. "Няма ли да половим
малко рибки?" – попитал Т1. "Защо не?" –
отвърнали братята му. Хвърлили
те от горния бряг своята изпитана
ортогонална мрежа. Гледат – в мрежата
сигма-риба се мята и с човешки глас
дума. "Не ме погубвайте, юнаци, ще
ви потрябвам." Пуснали я братята и
продължили нататък.
Много ли, малко ли вървели – повече от
нула и по-малко от безкрайност –
и изведнъж гледат: стои на пътя малък
параметър, от глад плаче. Съжалили
го братята, нахранили го с ядра.
Изведнъж започнал параметърът пред
очите им да расте, а като достигнал
екстремална стойност, поблагодарил
на братята и казал: "Аз ще ви потрябвам."
И пропаднал, като че го е
нямало изобщо. Потъмняло тук небето,
изчезнало слънцето. Понесли се из
пътя листата на Мьобиус, завъртели се
из въздуха уединени вихри; огнени
светкавици разцепвали небесната сфера
на Риман. Огледали се братята,
гледат – до пътя къщичката на Баба Яга.
"Къщичке, къщичке, обърни се към
нас с плюс, а към гората с минус."
Обърнала се къщичката. Влезли в нея
векторите и се зарадвали – стои маса, а
масата цялата отрупана с
най-различни гозби. Наяли се братята и
попитали: "Има ли някой тук?
Обади се!" Гледат – изпод печката
излиза вектор ли, скалар ли, в дробна
верига окован. "Добре дошли, благородни
вектори! Аз съм добрият
магьосник Ади
Аба Ага Коши Мак Лоран. Ето че вече
половин живот стоя тук под
стражата на злата Баба Яга и се мъча да
докажа голямата теорема на
Ферма..." Още не успял той да довърши и
зашумяло и зарезонирало наоколо.
"Да бягаме" – извикал Мак Лоран.
Освободили го братята и хукнали всички
заедно да бягат. Гледат – по небето
лети прекрасната Делта. Ударила се
Делта о земята, застанала на главата си
и се превърнала в Баба Яга:
"Мирише ми... мирише ми на вектор!" А от
братята вече и помен нямало.
Извел Ади Аба братята на геодезична
линия, посочил им пътя към Divgrad,
което ще рече Дивен Град, а той си
тръгнал по своя път. Вървели що
вървели, транслирали се дни и нощи,
изминали половината път. Ала
изневиделица нападнали ги диваци от
племето на Фибоначи, с които
програмистите плашат децата си, и ги
отвлекли в незнайно множество. Но
векторната кръв скалар става ли –
избили ги братята с производни на
динамита и открили, че са изгубили пътя
безвъзвратно като съкратена
дроб. Лутали се, лутали, периоди наред
търсили верния ъгъл и тъкмо се
изморили, гледат – по пътя безкрайна
геометрична прогресия се задава.
"Какво се е случило, добри ми членове?"
– попитал Т2. "Ох, братко" –
отвърнал му (2t+1)-ия член – "нападна ни
злият разбойник Гаус и уби
ирационален брой от нас. А ние сме
мирни поклонници и нямaме опит в
уравнения от такава висока степен."
Разгневили се братята и решили да
накажат злосторника. "Къде живее
гнусният злодеец?" – попитали те (2t+1).
"Далече, много далече, чак в
точката на Лагранж" – отговорил им
тъжно той. Тръгнали братята на път,
стигнали до бърлогата на Гаус. Хванали
разбойника и го накарали да реши
еднозначно система от 5 уравнения с 10
неизвестни. И тук Гаус го ударил
на рев. "Не ме погубвайте, юнаци,
матрицата не е квадратна – как да ги
реша?!" Пожалили го братята, накарали го
да ги упъти към Divgrad и
тръгнали. Много премеждия преживели,
много препятствия диференцирали, но
накрая стигнали до мечтания град.
И се издигнали пред юнаците стените на
града велики така, както расте
графиката на тангенса, когато
аргументът клони към n2. И се разсейвало
от него сияние лъчисто така, както се
разсейват частните суми на
хармоничния ред. Отбили се братята в
кръчмата "При стария Абел",
Обсъдили със стопанина
трансформациите на елиптичните функции и го
ударили на приказки. Разказал им той за
великото нещастие, сполетяло
града. Организирал веднъж управителят
на Divgrad, великият Галоа IV,
инвариантен бал по случай
пълнолетието на дъщеря си – красавицата
Резолвента. Такъв бал не било още имало
в неговата дефиниционна област.
Пристигнал на бала граф Хикс със
самоспрегната каляска, дошъл и княз
Синус със своята Синусоида. Чаровните
звуци на К-мерната музика, която
се изпълнявала от хора на коничните
сечения, придружени от великия тенор
Лобачевски, гладели слуха. Цялата зала
се въртяла в танца "Па dt".
Изведнъж изгаснала светлината,
замятали се по стените фигурите на
Лисажу, изплашили се гостите.
А когато оправили бушоните,
красавицата Резолвента била изчезнала.
Както показало следствието от
теоремата на Болцано, бил я похитил злият
вълшебник Вандермонд. Той се бил
промъкнал на бала като нарушил
условието на Даламбер-Ойлер и направил
подмяна в редовете на стражата.
Разчувствали се братята от разказа на
Абел. И решили те да си сравнят
силите със злия магьосник, да
освободят от скобите му красавицата
Резолвента. Насочили се към
търговските редове на Тейлър, приготвили се,
погадали на Вечния календар и
тръгнали на път.
Бързо се приказка разказва, ала не се
бързо работа върши. Тежките
гранични условия не позволили на
векторите да минат в съседната
накръстлежаща област, населена с
псевдовектори, където господствало
класовото неравенство на
Коши-Буняковски. И по заобиколната линия
излезли в точката на разклонението, на
която било написано: "Тръгнеш ли
надясно, в безкрайността ще отидеш.
Наляво ли тръгнеш, координатите си
няма да събереш. Направо ли тръгнеш, ще
се транспонираш." Замислили се
братята. И отведнъж се появил старият
познат Али Аба Ага Коши Мак Лоран.
"Зная, братя, аз вашите мисли. Тежка
работа сте замислили. Трудно е да
се надвие Вандермонд. Смъртта му е
заключена в детерминант. А този
детерминант се намира в додекаедъра. А
додекаедърът лежи в икосаедъра. А
икосаедърът е здраво, прездраво
вързан за корените на полинома на
Льожандър. Първият възел е обикновен,
вторият – моряшки, а третият
–логаритмичен. А този полином расте в
изолираната точка и не е лесно да
се стигне до нея. Лежи
тя зад околната стена в
пространството на хан Банах. И се пази тя от
чудовище с трансцедентен брой крака и
прякор Декремент. Този детерминант
трябва да се намери и приравни на
нула."
Показал им Али Аба пътя и стигнали по
него братята до границите на
непразно множество, запълнено с
несвиваема течност. Седят, гадаят какво
да правят – не знаят. И отведнъж се
появила сигма-риба. "Ето че ви
потрябвах, млади юнаци!" Превозила ги
тя и им обяснила пътя по-нататьк.
Не смогнали братята два периода да
минат и пътя им преградила вдлъбната
повърхнина от втори род. Опечалили се
векторите. Но застанал пред тях
малкия параметър. "Ето че ви дотрябвах,
братя!" Ударил се той о земята,
разложил се по своите степени и
преминали братята на другата страна. "А
сега," – казал им параметърът –
"вървете по следите на матриците право
до изолираната точка. Намерили братята
следите, гледат и що да видят –
разходимост имат на три страни.
Отправил се всеки в своята посока.
Вървял, вървял Т1 и отведнъж изникнали
пред него неизброимите орди на
хан Банах, всичките (освен може би с
едно изключение) облечени в
Жорданова форма, подстригани а ла
скобка на Поасон. "Ех," – затьжил се
векторът, "няма ги с мен любимите ми
братя! Но нищо, Т1 и сам в полето е
воин." И безстрашно се хвърлил срещу
враговете. А тук и братята дошли
на помощ. Победили неприятеля.
Изведнъж всичко се затресло,
зарезонирало. Разтворила се земята и пред
векторите се появило чудовището
Декремент. Не се уплашили братята,
хвърлили върху него въжен
многоъгълник. Заплело се чудовището и
издъхнало. Намерили братята полинома,
разровили корените, разрязали
възлите, отворили икосаедъра, извадили
додекаедъра, извлекли
детерминанта...и го приравнили на нула.
И дошъл краят тук на злия Вандермонд. И
се появила пред братята
красавицата Резолвента, жива и здрава.
...Което и трябваше да се докаже.

Забележка: Приказката е написана за
случая T=3. Използвайки метода на
пълната математическа индукция,
читателят лесно ще я обобщи за всяко
цяло n>T